『連立方程式とは』加減法と代入法を紹介

数学

連立方程式とは

「2つ以上の方程式を組み合わせたもののこと」

そもそも方程式とは

「まだわかっていない数を表す文字を含む等式である」

ん?等式とは

「イコール(=)で結んだ式のこと」

 

例えば

$x+3=5$

これは方程式が1つしかないので、連立方程式ではないですね。

※このような式を1元1次方程式と言います。(1元とは文字の個数が1個、1次とは変数 $x$ の次数が1であること)

※は読み飛ばして大丈夫です笑

 

$x+2y=10$

文字は2つあるが、方程式が1つしかないので連立方程式ではありません。

※これは2元1次方程式といい答えがいくらでも存在します。
($x=8,y=1$、$x=3,y=2$、$x=5.37,y=2.315$など)

 

$\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}x+3=5\\x+2y=10\end{array}\right.\end{eqnarray}$

これは方程式が2つあるので連立方程式ですね。

※方程式に含まれる文字のことを未知数といい、多元1次方程式を解くとき未知数が2個なら方程式が2個以上必要になる。未知数の数≦方程式の数

これで連立方程式の意味が理解できたと思うので、解き方をみていきましょう♪

 

加減法

「与えられた方程式を足し算引き算で、1文字消すやり方のこと」

「例題1」

$\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}2x+5y=18→①\\2x+y=2→②\end{array}\right.\end{eqnarray}$

①ー②で $x$ を消すことができるので、

$4y=16$

$y=4$となり、

①または②の好きな方に$y=4$を代入して $x$ を求めます。

$2x+(4)=2$

$x=-1$

答え、$x=-1,y=4$

 

「例題2」

$\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}6x+9y=12→①\\4x+3y=2→②\end{array}\right.\end{eqnarray}$

足し算や引き算を使っても文字を消せないですね…

こんな時は消したい文字の係数を同じにしましょう♪

※係数がわからない方コチラ→『覚えておきたい数学で出てくる言葉』項とは、係数とは、次数とは

消したい文字は自分の好きな方で大丈夫です(慣れてくると簡単な方がわかります)

今回は $x$ を消していきます。

$x$ の係数は6と4なので6と4の最小公倍数を求めて係数を同じにします。

※最小公倍数の求め方はコチラ→『公約数・最大公約数・公倍数・最小公倍数』求め方

6と4の最小公倍数は12なので①の式を$×$2、②の式を$×$3します。

$\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}12x+18y=24→③\\12x+9y=6→④\end{array}\right.\end{eqnarray}$

③ー④で、

$9y=18$

$y=2$

①に代入して、

$6x+9×(2)=12$

$x=-1$

答え、$x=-1,y=2$

 

代入法

「一方の式をもう一方の式に代入することによって、1つの文字を消去して解く方法のこと」

「例題1」

$\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}2x+5y=18→①\\2x+y=2→②\end{array}\right.\end{eqnarray}$

代入法では係数が「1」である時に使いやすいので、②の $y$ に着目して、

$y=2-2x$ の形に変形させて、この式を①に代入します。

$2x+5(2-2x)=18$

$y$ が消えたので $x$ を求めることができます。

$2x+10-10x=18$

$x=-1$

①または②に代入して、

$y=4$

答え、$x=-1,y=4$

 

「例題2」

$\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}2x-4y=8→①\\3x+2y=4→②\end{array}\right.\end{eqnarray}$

この問題を代入法で解いていきます。

①に着目して①の方程式を$÷$2すると $x$ の係数が「1」になるので、

$x-2y=4$ として、

$x=4+2y$ の形に変形させて②に代入します。

$3(4+2y)+2y=4$

$12+6y+2y=4$

$y=-1$

①または②に代入して、

$x=2$

答え、$x=2,y=-1$

 

連立方程式を解く時、加減法か代入法どちらで解いてもいいのですが、

係数が「1」の場合は代入法がおすすめで、簡単に係数を「1」にできない場合は加減法がおすすめですので、

ぜひ両方のやり方で解けるようにしてみて下さいね♪

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