数学の問題で、
「次の式を展開して下さい」と問われることがありますが、
式の展開とは「カッコを外して積の式から和や差の式にする」ことです。
つまり展開公式とは
カッコを外して足し算や引き算の式に展開するための公式のことです。
では、実際に覚えたい４つの展開公式をみていきましょう♪
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
この公式が成り立つか実際に分配法則をしてみてみましょう。
$(a+b)(a+b)$
$=a^2+ab+ba+b^2$ →$abとba$ は同類項です
$=a^2+2ab+b^2$
成り立ちましたね。
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
これも実際に分配法則してみていきましょう
$(a-b)(a-b)$
$=a^2-ab-ba+b^2$
$=a^2-2ab+b^2$
大丈夫でしたね
$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
この公式も成り立つか展開して確認していきましょう
$(x+a)(x+b)$
$=x^2+bx+ax+ab$ → $aとb$ は数字と考えるので
$=x^2+(a+b)x+ab$
okですね
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
これも展開してみていきましょう
$(a+b)(a-b)$
$=a^2-ab+ba-b^2$
$=a^2-b^2$
この公式はシンプルでよく使います
これらの公式は計算を簡単にするためのものなので、
覚えていなくても問題を解くことができます。
ただ公式を覚えていないと、
問題が複雑になったときに時間がかかりミスが増えてくるので、
ぜひ覚えて下さいね♪
応用問題
１. $(x+y+4)(x+y+6)$ この式を展開して下さい
この問題を解くときいつものように分配法則をして解くと
$x^2+xy+6x+yx+y^2+6y+4x+4y+24$
$=x^2+2xy+y^2+10x+10y+24$
面倒くさいし、ごちゃごちゃしていて間違いそうですよね笑
このような時に展開公式を使って解くと簡単に解くことができるので、
紹介します。
$x+y$ に着目して $x+y=A$ とおいて解いていきます
$(A+4)(A+6)$ →この公式ありましたね
公式に当てはめると
$=A^2+10A+24$
$A=(x+y)$ なので
$(x+y)^2+10(x+y)+24$ となり →また公式がでてきましたね
$=x^2+2xy+y^2+10x+10y+24$ となります
こっちの方が解きやすいですね
２. $(x-y+4)(x+y-4)$ この式を展開して下さい
応用問題の１と違って２項を１文字に置き換えることができなそうですね。
ただ、このように表すと
{$x-(y-4)$} {$x+(y-4)$} →マイナスでくくることがポイント！
$y-4=A$ とおき
$(x-A)(x+A)$ となり →公式がでてきましたね
$x^2-A^2$
$=x^2-(y-4)^2$
$=x^2-(y^2-8y+16)$
$=x^2-y^2+8y-16$
このように公式を覚えておくと応用問題も解きやすくなります♪
まとめ
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
数学の応用問題を解くとき基礎的なことがとても大切ですので、
この公式を使い倒せるように問題をたくさん解いていきましょう♪
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